第1讲 集合与关系运算
一、小结
本讲介绍集合的基本概念,集合的运算与性质、关系的概念、关系的表示、关系的运算等。
1.基本概念
(1)集合及相关概念
集合:集合是一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体,而集合中的事件称为元素。
元素:元素与集合之间的关系是从属关系(属于或者不属于)。
若是集合中的元素,则称属于,记作;
若不是集合中的元素,则称不属于,记作。
子集:集合与集合之间的关系是包含关系。
对任意两个集合 A 和 B,若 B 中的每个元素都是 A 中的元素,则称 B 为 A 的子集,记作B A或AB。
若B 且B A,则称 B 为 A 的真子集,记作B A或AB。
若 B 不是 A 的子集,即B A不成立时,记作B A。
(2)集合的四种表示方法
列举法,例= {}。
描述法,例B = {}。
文氏图法,如图
A B
运算法,可通过已知集合之间的并、交、差等运算构造一个新的集合,四种例如。
2.集合的运算
五种基本运算——并、交、差、补、对称差。
并:设和 B 是两个任意集合,所有属于或属于 B 的元素组成的集合,称为集合与 B 的并集,记作,即或 。
交:既属于又属于 B 的所有元素组成的集合,称为集合与 B 的交集,记作,即且 。
差:设和 B 是任意两个集合,属于而不属于 B 的所有元素组成的集合,称为与 B 的差集,记作,即。
补:设 E 为全集,E,由 E 中所有不属于A的元素组成的集合,称为的补集,记作~A,即 ~A =。
补集~A可以看作全集 E 与集合的差集,~A = E -。
对称差:设和 B 是任意两个集合,集合 (A - B )(B - A ) 称为集合和 B 的对称差,记作B,即B = (A - B )(B - A )。
3.笛卡尔积的概念
设 A 和 B 是任意两个集合,用 A 中元素为第一元素,B 中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合称为集合 A 和 B 的笛卡尔积,或称为集合 A 和 B 的直乘积,记作AB.即AB = {< x , y >且}
4.二元关系
任何一个有序对集合,称为一个二元关系,简称关系,记作R。
对于二元关系R,若a,bR,可记作aRb;若a,bR,则记作ab。
设 A 和 B 是两个集合,笛卡尔积 AB 的任一子集所定义的二元关系R称为从 A 到 B 的二元关系.当 A=B 时,称 R 为 A 上的二元关系。
5.二元关系的表示方法
集合(有序对集合)表示法
矩阵(关系矩阵)表示法
关系图表示法
6.关系运算
(1)复合关系
设A,B,C是三个集合,R 是从 A 到 B 的一个二元关系,S 是从 B 到 C 的一个二元关系,则 R 与 S 的复合关系为R·S ={a , c|aA,cC,且存在 bB,使a , bR,b , cS}这个复合关系是从 A 到 C 的一个二元关系。
(2)逆关系
设 R 是从集合 A 到 B 的二元关系,则从集合 B 到 A 的二元关系R –1:
R –1 = {b , aca , bR }
称为R的逆关系。
二、典型例题讲解
1.试分别求空集与 {a, b}的幂集。
解:空集与的幂集为 {};
集合{a, b}有22个子集,其幂集为{,{a},{b},{a, b}}。
2.设 A={1, 2, 3, 4},B ={1,2,3}, C ={1, 2},D={x|x为小于5的自然数}试说明集合间的关系。
解:由定义知 A=D,
CC,CB,CA,BB,BA,AA,
CB,CA,BA。
3.设A = {x|x为小于1且大于1的整数},试说明 A 中包含那些元素。
解:因为不存在小于1且大于1的整数,即 A 中无元素,所以A是空集。
4.设全集E={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1, 2, 3,4},B ={1, 3},试求AB、AB、A-B、~A、B。
解:AB={1, 2, 3,4}{1, 3}={1, 2, 3,4},
AB={1, 2, 3,4}{1, 3}={1, 3},
A-B={1, 2, 3,4}-{1, 3}={2,4},
~A =E-A={1, 2, 3,4,5,6,7,8}-{1,2,3,4}={5,6,7,8},
AB=(A -B)( B -A) ={2,4}={2,4}。
5.试利用定义证明结合律
证明:设任意x,即xAB且xC,
也就是xA且xB且xC;
由此得xA且xBC,即xA(BC )。
所以A(BC)。
同理可证,A(BC )。
因此 = A(BC )。
6.设 A={1, 2},B ={a, b},试求A′B、B′A。
解:A B={1, 2}{a, b}={<1, a >,<1, b>,<2, a >,<2, b>},
BA={a, b}{1,2}={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}。
7.设A ={1, 2, 3},R ={<x, y>| x, yA 且x+ y <5},则 R 是 A 上的关系,试将该关系的序偶的集合、关系图、关系矩阵等形式写出。
解:(1)序偶的集合
可按照 R 中元素满足的要求求出其中的具体元素,则
R ={<1,1 >,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2 >,<3,1 >}
(2)关系图
(3)关系矩阵
8.设A ={1,2},B ={a, b, c},C ={3, 4},R 是从 A 到 B 的一个二元关系,S 是从 B 到 C 的一个二元关系,R ={<1,a>,<2,b>},S ={<a,3>,<a,4>,<c,4>},试求复合关系R·S。
解:可以先画出关系图如下:
可求出R·S ={<1,3>,<1,4>}。
作业:
习题1(A)
1(1)、2(1)、3(2)、4(3)、5(2)、6、11(1)、12(2)
习题1(B)
2(1)、3、4