第1讲　集合与关系运算

　　一、小结
　　本讲介绍集合的基本概念，集合的运算与性质、关系的概念、关系的表示、关系的运算等。
　　1．基本概念
　　（1）集合及相关概念
　　集合：集合是一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体，而集合中的事件称为元素。
　　元素：元素与集合之间的关系是从属关系（属于或者不属于）。
　　若是集合中的元素，则称属于，记作；
　　若不是集合中的元素，则称不属于，记作。
　　子集：集合与集合之间的关系是包含关系。 

对任意两个集合 A 和 B，若 B 中的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 为 A 的子集，记作B A或AB。
　　若B 且B A，则称 B 为 A 的真子集，记作B A或AB。
　　若 B 不是 A 的子集，即B A不成立时，记作B A。
　　（2）集合的四种表示方法
　　列举法，例= {}。
　　描述法，例B = {}。
　　文氏图法，如图

　　　　A　　　B
　　运算法，可通过已知集合之间的并、交、差等运算构造一个新的集合，四种例如。

2．集合的运算
　　五种基本运算——并、交、差、补、对称差。
　　并：设和 B 是两个任意集合，所有属于或属于 B 的元素组成的集合，称为集合与 B 的并集，记作，即或 。
　　交：既属于又属于 B 的所有元素组成的集合，称为集合与 B 的交集，记作，即且 。
　　差：设和 B 是任意两个集合，属于而不属于 B 的所有元素组成的集合，称为与 B 的差集，记作，即。

补：设 E 为全集，E，由 E 中所有不属于A的元素组成的集合，称为的补集，记作~A，即 ~A =。
　　补集~A可以看作全集 E 与集合的差集，~A = E -。
　　对称差：设和 B 是任意两个集合，集合 (A - B )(B - A ) 称为集合和 B 的对称差，记作B，即B = (A - B )(B - A )。
　　3．笛卡尔积的概念
　　设 A 和 B 是任意两个集合，用 A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合 A 和 B 的笛卡尔积，或称为集合 A 和 B 的直乘积，记作AB．即AB = {< x , y >且}

4．二元关系
　　任何一个有序对集合，称为一个二元关系，简称关系，记作R。
　　对于二元关系R，若a，bR，可记作aRb；若a，bR，则记作ab。
　　设 A 和 B 是两个集合，笛卡尔积 AB 的任一子集所定义的二元关系R称为从 A 到 B 的二元关系．当 A=B 时，称 R 为 A 上的二元关系。
　　5．二元关系的表示方法
　　集合（有序对集合）表示法
　　矩阵（关系矩阵）表示法
　　关系图表示法

6．关系运算
　　（1）复合关系
　　设A，B，C是三个集合，R 是从 A 到 B 的一个二元关系，S 是从 B 到 C 的一个二元关系，则 R 与 S 的复合关系为R·S ={a , c|aA，cC，且存在 bB，使a , bR，b , cS}这个复合关系是从 A 到 C 的一个二元关系。
　　（2）逆关系
　　设 R 是从集合 A 到 B 的二元关系，则从集合 B 到 A 的二元关系R –1：
　　R –1 = {b , aca , bR }
　　称为R的逆关系。

二、典型例题讲解
　　1．试分别求空集与 {a, b}的幂集。
　　解：空集与的幂集为 {}；
　　集合{a, b}有22个子集，其幂集为{,{a},{b},{a, b}}。
　　

2．设 A={1, 2, 3, 4}，B ={1,2,3}, C ={1, 2}，D={x|x为小于5的自然数}试说明集合间的关系。
　　解：由定义知 A=D，
　　CC，CB，CA，BB，BA，AA，
　　CB，CA，BA。
　　

3．设A = {x|x为小于1且大于1的整数}，试说明 A 中包含那些元素。
　　解：因为不存在小于1且大于1的整数，即 A 中无元素，所以A是空集。

4．设全集E={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1, 2, 3,4}，B ={1, 3}，试求AB、AB、A-B、~A、B。
　　解：AB={1, 2, 3,4}{1, 3}={1, 2, 3,4}，
　　AB={1, 2, 3,4}{1, 3}={1, 3}，
　　A-B={1, 2, 3,4}-{1, 3}={2,4}，
　　~A =E-A={1, 2, 3,4,5,6,7,8}-{1,2,3,4}={5,6,7,8}，
　　AB=(A -B)( B -A) ={2,4}={2,4}。
　

　5．试利用定义证明结合律
　　
　　证明：设任意x，即xAB且xC，
　　也就是xA且xB且xC；
　　由此得xA且xBC，即xA(BC )。
　　所以A(BC)。
　　同理可证，A(BC )。
　　因此 = A(BC )。

6．设 A={1, 2}，B ={a, b}，试求A′B、B′A。
　　解：A B={1, 2}{a, b}={<1, a >,<1, b>,<2, a >,<2, b>}，
　　BA={a, b}{1,2}={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}。
　　

7．设A ={1, 2, 3}，R ={<x, y>| x, yA 且x+ y <5}，则 R 是 A 上的关系，试将该关系的序偶的集合、关系图、关系矩阵等形式写出。
　　解：（1）序偶的集合
　　可按照 R 中元素满足的要求求出其中的具体元素，则
　　R ={<1,1 >,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2 >,<3,1 >}

（2）关系图
　
　　（3）关系矩阵
　　

8．设A ={1,2}，B ={a, b, c}，C ={3, 4}，R 是从 A 到 B 的一个二元关系，S 是从 B 到 C 的一个二元关系，R ={<1,a>,<2,b>}，S ={<a,3>,<a,4>,<c,4>}，试求复合关系R·S。
　　解：可以先画出关系图如下：

　　可求出R·S ={<1,3>,<1,4>}。

作业：
　　习题1（A）
　　1（1）、2（1）、3（2）、4（3）、5（2）、6、11（1）、12（2）
　　习题1（B）
　　2（1）、3、4