在学习集合运算时,会碰到一些容易混淆的概念,试着回答下面的问题:
Q问题1:请问:设 A ,B ,C ,D 是任意集合,一定有
(1)若 A B = A C ,则 B = C 吗? (2)若 A B = A C ,则 B = C 吗?
解答:两个式子一般都不成立.请注意集合运算与实数运算上的不同.
(1)当 A = 时,对任意 B ,C ,都有 A B = A C= ;当 A ≠ ,如 A ={1, 2},B ={1, 2, 3},C ={1, 2, 3, 4},有 A B = A C ,但 B ≠ C . 因此一般地,若 A B = A C 并不能得到 B = C . 只有当 A ⊇ B ,A ⊇ C时,若 A B = A C 一定有 B = C .
(2)同理,一般地,由 A B = A C ,得不到 B = C ;只有 A ⊆ B,A ⊆ C 时,若 A B = A C 必有 B = C .
Q问题2:请问,对任意集合 A ,B ,结论 P ( A ) P ( B ) ⊆ P ( A B )成立吗?
解答:结论是对的.
因为, 对任意 x ,由
x ∈( P ( A ) P ( B ))⇔ x ∈ P ( A ) 或 x ∈ P ( B )⇔ x ⊆ A或 x ⊆ B
⇒ x ⊆ ( AB )⇔ x ∈ P( AB )
得P( A ) P( B )⊆ P(A B).
说明:证明中的“ x ⊆ A 或 x ⊆ B ⇒ x ⊆( A B )”,只能是单方向⇒,而不是双方向⇔.