终身教育平台
典型例题3：容斥定理
通过上面的学习，您能能正确运用容斥定理求有限集合的计数问题吗？下面请分析典型例题，完成后可以点击了解自己的分析是否正确
例题1
例1：对100学生的调查表明，有32人学日语，20人学法语，45人学英语．7人既学日语又学法语，15人既学日语又学英语，10人既学法语又学英语．30人不学这三门语言中的任何一种．求
（1）3门语言都学的学生人数；
（2）只学日语，只学法语，只学英语的学生人数；
（3）至少学习两门语言的学生人数．
【思路】：有限集合的计数方法有两种，其一是用容斥原理，即对任意有限集合A，B和C，有
= 
+
+
－
－
－
+
其中，，分别表示A，B和C的元素．
其二是用文氏图法，这一方法的步骤为：
1．根据已知条件把对应的文氏图画出来，
2．将已知集合的元素填入表示该集合的区域内；通常从几个集合的交集填起，根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内．
3．如果交集的数字是未知的，可以将其设为x，再根据已知条件列出方程或方程组，解出未知数x．
由已知条件可知，本题用容斥原理求解比较容易．
解：设全集E={全体被调查的学生}，集合A ={x│x人学日语}，B ={x│x人学法语}，C ={x│x人学英语}，则由已知条件得：
=100，=32，=20，=45，=7，=15，=10，
=100-30=70．
（1）利用容斥原理
= ++－（+++
得
= 70 － (32+20+45) + (7+15+10) = 5
即3门语言都学的学生人数为5．
（2）设只学日语、法语、英语的人数分别为x，y，z．
因为A = (A-B-C)
(A
B)(AC)，
(A-B-C)(AB) =
，(A-B-C)(AC) =
=
=
++－
所以，x = =－－+= 32－7－15+5 = 15
同理，y = 
=－
-
+= 20－7－10+5 = 8
z =
=-
-
+= 45－15－10+5 = 25
即只学日语、法语、英语的人数分别为15，8，25．
（3）设至少学习两门语言的学生人数为w．则
w =
=++－3+= 7+15+10－2×5 = 22
最后修改: 2020年02月12日 Wednesday 14:54
终身教育平台