通过上面的学习,您能能正确运用容斥定理求有限集合的计数问题吗?下面请分析典型例题,完成后可以点击了解自己的分析是否正确
例题1
例1:对100学生的调查表明,有32人学日语,20人学法语,45人学英语.7人既学日语又学法语,15人既学日语又学英语,10人既学法语又学英语.30人不学这三门语言中的任何一种.求
(1)3门语言都学的学生人数;
(2)只学日语,只学法语,只学英语的学生人数;
(3)至少学习两门语言的学生人数.
【思路】:有限集合的计数方法有两种,其一是用容斥原理,即对任意有限集合A,B和C,有
= ++---+
其中,,分别表示A,B和C的元素.
其二是用文氏图法,这一方法的步骤为:
1.根据已知条件把对应的文氏图画出来,
2.将已知集合的元素填入表示该集合的区域内;通常从几个集合的交集填起,根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内.
3.如果交集的数字是未知的,可以将其设为x,再根据已知条件列出方程或方程组,解出未知数x.
由已知条件可知,本题用容斥原理求解比较容易.
解:设全集E={全体被调查的学生},集合A ={x│x人学日语},B ={x│x人学法语},C ={x│x人学英语},则由已知条件得:
=100,=32,=20,=45,=7,=15,=10,
=100-30=70.
(1)利用容斥原理
= ++-(+++
得
= 70 - (32+20+45) + (7+15+10) = 5
即3门语言都学的学生人数为5.
(2)设只学日语、法语、英语的人数分别为x,y,z.
因为A = (A-B-C)(AB)(AC),
(A-B-C)(AB) =,(A-B-C)(AC) =
==++-
所以,x = =--+= 32-7-15+5 = 15
同理,y = =- -+= 20-7-10+5 = 8
z = =--+= 45-15-10+5 = 25
即只学日语、法语、英语的人数分别为15,8,25.
(3)设至少学习两门语言的学生人数为w.则
w = =++-3+= 7+15+10-2×5 = 22